Триган — математическая функция¶

Триган (разговорное сокращение от «тригонометрическая функция») — неофициальное, преимущественно школьное и студенческое обозначение тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, котангенса, а также секанса и косеканса. В строгой математической литературе и в официальных учебных программах термин не используется: он относится к учебному сленгу и встречается главным образом в устной речи, конспектах и интернет-общении. Под «триганом» обычно понимают не какую-то отдельную функцию, а весь раздел элементарной математики, связанный с соотношениями между сторонами и углами треугольников и с периодическими колебательными процессами.

¶Происхождение термина

Слово образовано усечением прилагательного «тригонометрический»: в русском языке распространены сокращения подобного типа — «тригонометрия» → «триган», по аналогии с «физра», «матан» (математический анализ), «линал» (линейная алгебра), «теормех» (теоретическая механика). Такие формы возникают в студенческой и школьной среде как средство быстрого обозначения учебной дисциплины или её раздела.

Сам корень восходит к греческим τρίγωνον («треугольник») и μέτρον («мера»), то есть буквально «измерение треугольников». Термин «тригонометрия» как название дисциплины закрепился в Европе в XVI–XVII веках, хотя соответствующие соотношения были известны значительно раньше.

¶Основные тригонометрические функции

В школьном курсе рассматриваются четыре базовые функции, которые чаще всего и называют «триганом»:

Реже используются секанс (sec α = 1/cos α) и косеканс (cosec α = 1/sin α). Все они определяются для углов и, в более общем виде, для действительных чисел через единичную окружность.

¶Геометрическое и аналитическое определение

Исторически первым было геометрическое определение через прямоугольный треугольник: значения функций зависят только от величины острого угла, но не от размеров треугольника. Это свойство подобия лежит в основе практических вычислений.

Аналитическое определение вводит функции на единичной окружности: точке, соответствующей углу α, приписываются координаты (cos α; sin α). Такое определение позволяет распространить функции на любые действительные (и даже комплексные) значения аргумента и делает их периодическими:

• sin и cos имеют период 2π;
• tg и ctg — период π.

¶Основные тождества

Связи между функциями описываются тождествами, которые составляют ядро школьного курса:

• основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1;
• tg α = sin α / cos α, ctg α = cos α / sin α;
• формулы сложения: sin(α ± β), cos(α ± β);
• формулы двойного и половинного угла;
• формулы приведения, связывающие значения функций для углов разных четвертей.

Эти соотношения позволяют упрощать выражения и решать тригонометрические уравнения.

¶Применение

Тригонометрические функции описывают любые периодические процессы, поэтому применяются далеко за пределами геометрии:

• Физика — колебания маятника, переменный ток, волновая оптика, акустика.
• Геодезия и навигация — измерение расстояний и углов, триангуляция, определение координат.
• Астрономия — вычисление положений небесных тел.
• Инженерия — расчёт нагрузок в конструкциях, обработка сигналов.
• Компьютерная графика — повороты, анимация, построение трёхмерных сцен.
• Математический анализ — ряды Фурье, разложение функций в тригонометрические ряды.

¶Значения часто используемых углов

Для углов 30°, 45° и 60° значения функций выражаются через простые радикалы и заучиваются в школе:

¶Обратные функции

Обратные тригонометрические функции — арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс — позволяют по значению функции найти угол. Они также входят в понятие «тригана» в широком смысле и активно используются при решении уравнений.

¶Термин в учебной среде

В разговорной речи «триган» может обозначать:

• конкретную контрольную или тему («завтра триган»);
• совокупность формул, которые требуется запомнить;
• раздел курса алгебры и начал анализа в 10–11 классах.

Слово не является нормативным и не фиксируется в академических словарях математических терминов. В официальных документах, учебниках и научных работах употребляются полные формы: «тригонометрические функции», «тригонометрия».

¶Смежные понятия

С «триганом» тесно связаны тригонометрические уравнения и неравенства, тригонометрические ряды, обратные тригонометрические функции, а также радианная мера угла, без которой аналитическое определение функций теряет удобство. В высшей школе материал обобщается в курсе математического анализа и теории функций комплексного переменного, где тригонометрические функции выражаются через экспоненту (формула Эйлера).