Сингулярная группа в математике¶

Сингулярная группа — в математике термин, применяемый в нескольких разделах алгебры и топологии. Чаще всего под ним понимают группу сингулярных гомологий или сингулярных цепей топологического пространства, а также группу вырожденных (сингулярных) матриц в линейной алгебре. В каждом контексте объект обладает собственным определением и свойствами, объединёнными общей идеей «особого», вырожденного случая.

¶Сингулярные гомологии

В алгебраической топологии сингулярная группа — это группа сингулярных цепей или гомологий, сопоставляемая топологическому пространству. Построение начинается с симплексов.

¶Симплексы и сингулярные цепи

Стандартный \(n\)-мерный симплекс \(\Delta^n\) — это множество точек в \(\mathbb{R}^{n+1}\) с неотрицательными координатами, сумма которых равна единице. Сингулярный \(n\)-симплекс в пространстве \(X\) — это непрерывное отображение \(\sigma: \Delta^n \to X\). Оно не обязано быть вложением, отсюда и название «сингулярный» (вырожденный, особый).

Свободная абелева группа, порождённая всеми сингулярными \(n\)-симплексами, обозначается \(C_n(X)\) и называется группой сингулярных \(n\)-цепей. Её элементами являются формальные конечные суммы \(\sum a_i \sigma_i\) с целыми коэффициентами \(a_i\).

¶Граничный оператор и группы гомологий

Определяется граничный гомоморфизм \(\partial_n: C_n(X) \to C_{n-1}(X)\), сопоставляющий симплексу знакопеременную сумму его граней. Ключевое свойство — \(\partial_{n-1} \circ \partial_n = 0\), то есть граница границы равна нулю. Это позволяет ввести:

• группу \(n\)-циклов \(Z_n(X) = \ker \partial_n\);
• группу \(n\)-границ \(B_n(X) = \operatorname{im} \partial_{n+1}\).

Группа сингулярных гомологий определяется как фактор \(H_n(X) = Z_n(X) / B_n(X)\). Эти группы являются топологическими инвариантами: гомеоморфные пространства имеют изоморфные группы гомологий.

¶Свойства

Сингулярные гомологии обладают рядом важных свойств:

• функториальность: непрерывное отображение \(f: X \to Y\) индуцирует гомоморфизм \(f_*: H_n(X) \to H_n(Y)\);
• гомотопическая инвариантность: гомотопные отображения индуцируют совпадающие гомоморфизмы;
• точность: существует длинная точная последовательность пары \((X, A)\);
• для точки \(H_0\) — свободная абелева группа ранга 1, а \(H_n = 0\) при \(n > 0\).

Сингулярная теория удобна тем, что применима к любому топологическому пространству, в отличие от симплициальных гомологий, требующих триангуляции.

¶Сингулярные матрицы

В линейной алгебре сингулярной называют квадратную матрицу, определитель которой равен нулю. Множество таких матриц не образует группу относительно умножения, поскольку сингулярная матрица необратима. Однако термин «сингулярная группа» иногда используют для описания множества вырожденных матриц как алгебраического многообразия.

¶Свойства множества сингулярных матриц

• Определитель как полиномиальная функция задаёт условие \(\det A = 0\), то есть множество сингулярных матриц — алгебраическая гиперповерхность в пространстве всех матриц.
• В отличие от полной линейной группы \(GL(n)\), множество сингулярных матриц незамкнуто относительно умножения и не содержит единицы.
• Ранг сингулярной матрицы меньше её порядка.

Полная линейная группа \(GL(n, K)\) над полем \(K\) состоит именно из несингулярных матриц; сингулярные образуют её дополнение.

¶Сингулярные значения и разложение

С сингулярными матрицами тесно связано сингулярное разложение (SVD) — факторизация \(A = U \Sigma V^\), где \(\Sigma\) — диагональная матрица сингулярных чисел. Сингулярные числа неотрицательны и равны квадратным корням собственных значений матрицы \(A^A\). Матрица сингулярна тогда и только тогда, когда хотя бы одно её сингулярное число равно нулю.

¶Другие значения термина

Помимо двух основных, термин встречается и в иных контекстах:

• в теории групп — сингулярными иногда называют элементы или подгруппы, связанные с вырождением некоторой билинейной формы;
• в теории особенностей — группы монодромии, возникающие при исследовании критических точек отображений;
• в дифференциальной геометрии — группы, ассоциированные с особыми (сингулярными) слоями расслоений.

Единого общепринятого определения «сингулярной группы» вне контекста не существует; смысл уточняется по разделу математики.

¶Значение

Сингулярные группы гомологий лежат в основе современной алгебраической топологии и применяются при доказательстве фундаментальных теорем, включая теорему Брауэра о неподвижной точке и теорему Жордана о кривой. Понятие сингулярной матрицы критично в численных методах: близость определителя к нулю указывает на плохую обусловленность задачи. Сингулярное разложение широко используется в статистике, обработке сигналов и машинном обучении для понижения размерности.