Медиана в статистике и теории вероятностей¶

Медиана — это числовая характеристика упорядоченного набора данных, которая делит его на две равные по количеству элементов части: одна половина значений не превышает медиану, другая — не меньше неё. Наряду со средним арифметическим и модой медиана относится к основным мерам центральной тенденции и широко применяется в статистике, теории вероятностей, экономике, социологии и обработке сигналов. В отличие от среднего, медиана устойчива к резким выбросам в данных, что делает её предпочтительной при анализе распределений с «тяжёлыми хвостами» — например, доходов населения или цен на недвижимость.

¶Определение и вычисление

Для конечного набора чисел медиану находят в два шага. Сначала значения упорядочивают по возрастанию (или убыванию). Затем:

• если количество чисел нечётное, медианой является значение, стоящее ровно посередине;
• если количество чисел чётное, медианой считается среднее арифметическое двух центральных значений.

Например, для набора {3, 5, 7, 9, 11} медиана равна 7. Для набора {3, 5, 7, 9} медиана равна (5 + 7) / 2 = 6.

Для непрерывной случайной величины медиана определяется как такое число m, при котором функция распределения равна 0,5:

P(X ≤ m) ≥ 0,5 и P(X ≥ m) ≥ 0,5.

Иными словами, медиана — это квантиль уровня 0,5. Она совпадает со вторым квартилем и делит вероятность распределения пополам.

¶Свойства

Медиана обладает рядом свойств, отличающих её от среднего арифметического:

• Устойчивость к выбросам. Изменение одного крайнего значения почти не влияет на медиану. Если в наборе {1, 2, 3, 4, 100} заменить 100 на 1000, медиана останется равной 3, тогда как среднее вырастет с 22 до 202.
• Минимизация абсолютных отклонений. Медиана минимизирует сумму модулей отклонений от неё: сумма |xᵢ − m| минимальна именно при m, равном медиане. Среднее арифметическое, напротив, минимизирует сумму квадратов отклонений.
• Инвариантность к монотонным преобразованиям. Если ко всем значениям применить строго возрастающую функцию, медиана преобразуется той же функцией. Для среднего это неверно.
• Единственность с оговорками. Для чётного числа элементов медиана может не совпадать ни с одним из наблюдаемых значений; для некоторых распределений медиана не единственна (например, для распределения, сосредоточенного на двух точках с равными вероятностями).

¶Медиана и среднее: сравнение

В симметричных распределениях (например, нормальном) медиана и среднее совпадают. При правосторонней асимметрии медиана обычно меньше среднего, при левосторонней — больше. Это свойство используют для быстрой оценки формы распределения.

¶Применение

¶Статистика и экономика

Медианный доход, медианная заработная плата и медианная цена жилья считаются более репрезентативными показателями, чем средние, поскольку небольшая группа очень богатых или очень бедных наблюдений сильно искажает среднее. Международные организации, включая ООН и ОЭСР, регулярно публикуют медианные показатели благосостояния.

¶Робастные методы

В статистике медиана лежит в основе робастных (устойчивых) оценок. К ним относятся медианный фильтр для очистки сигналов от импульсных помех, метод наименьших абсолютных отклонений в регрессии и различные непараметрические критерии.

¶Обработка изображений и сигналов

Медианный фильтр применяется для подавления шума на фотографиях и в цифровой обработке сигналов. Он заменяет каждый пиксель медианой его окрестности, сохраняя при этом резкие границы объектов лучше, чем усредняющий фильтр.

¶Геометрия и многомерные обобщения

В многомерном пространстве аналогом медианы служит геометрическая медиана — точка, минимизирующая сумму расстояний до заданных точек. Она используется в задачах размещения объектов и кластерного анализа.

¶История понятия

Термин восходит к латинскому medianus — «срединный». В статистику понятие медианы ввёл в XIX веке. Фрэнсис Гальтон и другие исследователи применяли её при анализе биометрических данных. В XX веке, с развитием робастной статистики, интерес к медиане и её обобщениям значительно вырос; важный вклад внесли работы Джона Тьюки и его последователей.

¶Медиана в школьном курсе

В российской школьной программе медиана изучается в курсе алгебры основной школы вместе со средним арифметическим, модой и размахом. Учащиеся осваивают упорядочивание рядов и вычисление медианы для чётного и нечётного числа элементов. Это базовый инструмент описательной статистики, предшествующий более сложным темам — дисперсии и стандартному отклонению.

¶Типичные ошибки

Распространённое заблуждение — отождествление медианы со средним. В наборе {1, 1, 1, 1, 100} медиана равна 1, а среднее — 20,8. Ещё одна ошибка — вычисление медианы без предварительной сортировки данных, что даёт неверный результат. Наконец, при чётном числе элементов иногда ошибочно берут одно из центральных значений вместо их среднего арифметического.

¶Родственные понятия

Близки к медиане квартили (делят данные на четыре части), децили и процентили. Медиана соответствует 50-му процентилю. В порядковой статистике она занимает центральное место среди ранговых характеристик выборки.