Медиана в статистике и её применение¶

Медиана — это значение, которое делит упорядоченный набор данных на две равные по количеству элементов части: одна половина значений не превышает медиану, другая — не меньше неё. Наряду со средним арифметическим и модой медиана относится к основным мерам центральной тенденции в статистике и теории вероятностей. Её ключевое свойство — устойчивость к экстремальным значениям (выбросам), из-за чего она широко применяется там, где распределение данных несимметрично или содержит аномальные наблюдения.

¶Определение и способы вычисления

Для набора из \(n\) чисел медиана определяется через предварительную сортировку данных по возрастанию.

• Если \(n\) нечётное, медианой является значение, стоящее ровно посередине упорядоченного ряда, — элемент с номером \((n+1)/2\).
• Если \(n\) чётное, медианой считается среднее арифметическое двух центральных значений — элементов с номерами \(n/2\) и \(n/2 + 1\).

Например, для ряда 3, 5, 8, 12, 20 медиана равна 8. Для ряда 3, 5, 8, 12 медиана равна \((5 + 8) / 2 = 6{,}5\).

Для интервального вариационного ряда медиану находят по кумулятивным частотам: определяют интервал, в котором накопленная частота впервые превышает половину общего числа наблюдений, и внутри него применяют интерполяционную формулу.

¶Медиана и среднее арифметическое

Среднее арифметическое учитывает величину каждого значения, поэтому сильно смещается под действием выбросов. Медиана же зависит только от положения значений в упорядоченном ряду и нечувствительна к их абсолютным величинам на краях.

Классический пример — распределение доходов. Если в выборке из десяти человек девять получают по 30 тысяч рублей, а один — миллион, среднее арифметическое составит около 127 тысяч рублей, что не отражает типичный доход. Медиана же будет равна 30 тысячам рублей и точнее опишет «типичного» представителя группы.

Из этого следуют практические правила выбора:

¶Свойства

Медиана обладает рядом математических свойств, важных для её применения.

• Устойчивость (робастность). Значение медианы слабо меняется при замене крайних наблюдений, если их количество мало относительно объёма выборки. Точка разрушения медианы составляет 50 % — она сохраняет смысл, пока искажено менее половины данных.
• Минимум суммы модулей отклонений. Сумма абсолютных отклонений значений от медианы минимальна по сравнению с любым другим числом. Это отличает её от среднего, которое минимизирует сумму квадратов отклонений.
• Инвариантность к монотонным преобразованиям. Медиана сохраняется при любом неубывающем преобразовании данных, тогда как среднее — нет.
• Связь с квантилями. Медиана — это квантиль уровня 0,5; вместе с квартилями она образует основу для построения диаграмм «ящик с усами».

¶Применение

¶Описательная статистика

Медиана — стандартный элемент сводки данных. Её указывают вместе с квартилями и межквартильным размахом, чтобы охарактеризовать не только центр, но и разброс. В научных публикациях для несимметричных величин принято приводить медиану и интерквартильный интервал вместо среднего и стандартного отклонения.

¶Экономика и социальная статистика

Медианный доход, медианная заработная плата и медианная цена жилья используются как индикаторы уровня жизни, поскольку средние значения в этих областях искажаются немногочисленными очень крупными величинами. Медианная зарплата показывает, что получает работник, находящийся в середине распределения.

¶Демография

Ожидаемая продолжительность жизни часто приводится как медианная — возраст, до которого доживает половина родившихся в данном году. Медианный возраст населения характеризует его структуру: рост этого показателя указывает на старение.

¶Обработка данных и машинное обучение

В анализе данных медиана применяется для заполнения пропусков, фильтрации шумов и построения устойчивых оценок. Медианный фильтр в обработке сигналов и изображений удаляет импульсные помехи, сохраняя границы объектов лучше, чем усредняющий фильтр. В робастной статистике на медиане основаны оценки наименьших абсолютных отклонений.

¶Геометрия и навигация

Геометрическая медиана (точка Ферма — Торричелли) — точка, минимизирующая сумму расстояний до заданных точек. Она используется в задачах размещения объектов: складов, станций, пунктов обслуживания. В навигации медиана применяется для отсеивания ошибочных измерений координат.

¶Ограничения

Медиана не использует всю информацию о данных: она игнорирует конкретные величины всех значений, кроме центральных. Для малых выборок она менее устойчива, чем принято считать. Кроме того, медиана не обладает удобными алгебраическими свойствами среднего — например, медиана суммы не равна сумме медиан, что затрудняет её использование в аналитических выкладках и регрессионных моделях.

¶Медиана в других областях

Термин используется и за пределами статистики. В геометрии медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны; все три медианы пересекаются в центроиде. В теории графов медиана графа — вершина, минимизирующая сумму расстояний до остальных вершин. Такое совпадение названий отражает общую идею «середины» — точки или значения, делящего совокупность на сопоставимые части.