Идеал кольца в алгебре¶

Идеал — подмножество кольца, замкнутое относительно сложения и умножения на элементы кольца. Понятие идеала обобщает свойства множеств, кратных некоторому числу, и является одним из центральных в теории колец, коммутативной алгебре и алгебраической геометрии. «Состав» идеала — это совокупность всех элементов кольца, которые в него входят, а также правила, по которым из элементов кольца порождаются новые идеалы.

¶Определение

Пусть задано кольцо R (не обязательно коммутативное). Подмножество I ⊆ R называется левым идеалом, если:

• I является подгруппой аддитивной группы кольца: для любых a, b ∈ I выполнено a − b ∈ I;
• для любого r ∈ R и любого a ∈ I произведение r·a ∈ I (замкнутость относительно левого умножения на элементы кольца).

Аналогично определяется правый идеал (условие a·r ∈ I). Если подмножество замкнуто относительно умножения на элементы кольца с обеих сторон, его называют двусторонним идеалом. В коммутативных кольцах все три понятия совпадают, и говорят просто об идеале.

Тривиальные примеры: само кольцо R и нулевой идеал {0}. Идеал, не совпадающий с R, называется собственным.

¶Способы задания идеала

Идеал можно задавать несколькими эквивалентными способами, и именно это определяет его «состав».

¶Порождающее множество

Наименьший идеал, содержащий заданное подмножество S ⊆ R, называется идеалом, порождённым S, и обозначается (S). В коммутативном кольце он состоит из всевозможных конечных сумм вида r₁s₁ + r₂s₂ + … + rₙsₙ, где rᵢ ∈ R, sᵢ ∈ S.

¶Главные идеалы

Если идеал порождён одним элементом a, его называют главным и обозначают (a). В кольце целых чисел ℤ главный идеал (n) — это в точности множество чисел, кратных n. Кольца, в которых каждый идеал главный, называются кольцами главных идеалов; к ним относятся ℤ, кольцо многочленов от одной переменной над полем и кольцо целых гауссовых чисел.

¶Конечное число образующих

Идеал может быть порождён несколькими элементами: (a₁, a₂, …, aₙ). Например, в кольце многочленов k[x, y] идеал (x, y) состоит из многочленов с нулевым свободным членом. Не всякий идеал конечно порождён: кольца, где это выполнено для всех идеалов, называются нётеровыми.

¶Операции над идеалами

Состав идеалов подчиняется алгебраическим операциям.

Сумма и пересечение идеалов снова являются идеалами. Произведение всегда содержится в пересечении, но, вообще говоря, с ним не совпадает.

¶Радикал и простые идеалы

Среди идеалов выделяют несколько важных классов, определяемых их внутренним строением.

• Простой идеал — собственный идеал P, такой что из ab ∈ P следует a ∈ P или b ∈ P. В кольце ℤ простые идеалы — это (0) и идеалы (p) для простых чисел p.
• Максимальный идеал — собственный идеал, не содержащийся ни в каком другом собственном идеале. Факторкольцо по максимальному идеалу является полем.
• Радикал идеала I — множество элементов r, некоторая степень которых лежит в I. Радикал простого идеала совпадает с ним самим.

¶Факторкольцо

По двустороннему идеалу I можно построить факторкольцо R/I — множество классов смежности r + I с операциями, унаследованными от R. Состав факторкольца напрямую определяется составом идеала: чем «больше» идеал, тем «меньше» факторкольцо. Эта конструкция связывает теорию идеалов с теорией гомоморфизмов: ядро любого гомоморфизма колец есть двусторонний идеал, и обратно.

¶Применение

Понятие идеала возникло в работах Рихарда Дедекинда (1871) при изучении делимости в кольцах целых алгебраических чисел, где единственность разложения на простые множители может нарушаться. Идеалы восстанавливают эту единственность: каждый идеал дедекиндова кольца однозначно разлагается в произведение простых идеалов.

В алгебраической геометрии идеалы связывают алгебру и геометрию: множеству многочленов, обращающихся в нуль на алгебраическом многообразии, отвечает идеал в кольце многочленов. Теорема Гильберта о нулях устанавливает соответствие между идеалами и подмногообразиями.

В теории чисел идеалы применяются при изучении колец целых, в теории представлений — при построении модулей, а в функциональном анализе аналогом служат замкнутые идеалы в банаховых алгебрах.

¶Свойства и связь с делимостью

Для главных идеалов коммутативного кольца включение (a) ⊆ (b) равносильно делимости b | a. Это позволяет переформулировать арифметические вопросы на языке идеалов: необратимый элемент a прост тогда и только тогда, когда идеал (a) прост и ненулевой. Элемент обратим в точности тогда, когда порождённый им идеал совпадает со всем кольцом.

Максимальные идеалы описывают простые факторкольца, а цепочки идеалов — размерность кольца (размерность Крулля). Нётеровость, артиновость и другие свойства колец формулируются через условия обрыва возрастающих или убывающих цепочек идеалов.