Аналог медианы в статистике¶

Аналог медианы — обобщение понятия медианы на случай многомерных данных и произвольных метрик, позволяющее определить «центральное» значение или объект для совокупности, не сводящейся к одному числу. Классическая медиана делит упорядоченный одномерный набор пополам, однако для векторов, точек на плоскости, функций или распределений на графах такое деление неоднозначно. Поэтому в статистике, теории оптимизации и анализе данных разработан ряд конструкций, каждая из которых воспроизводит то или иное свойство медианы.

¶Свойства классической медианы

Прежде чем говорить об обобщениях, полезно перечислить свойства, которые пытаются сохранить аналоги.

• Минимизация суммы расстояний. Для одномерных чисел медиана минимизирует сумму абсолютных отклонений: сумма |xᵢ − m| минимальна при m, равном медиане. Среднее арифметическое, напротив, минимизирует сумму квадратов отклонений.
• Устойчивость к выбросам. Медиана имеет точку разрушения 50 %: чтобы сдвинуть её сколь угодно далеко, нужно испортить более половины наблюдений.
• Геометрическое свойство. Медиана делит выборку на две равные по численности части.
• Инвариантность. Медиана не меняется при монотонных преобразованиях шкалы.

Разные аналоги сохраняют разные подмножества этих свойств, и универсальной конструкции, обладающей всеми сразу, не существует.

¶Геометрическая медиана

Геометрическая медиана (медиана Фишера, пространственная медиана) — точка m в евклидовом пространстве, минимизирующая сумму евклидовых расстояний до заданных точек:

m = arg min Σ ‖xᵢ − m‖₂.

Для точек на прямой эта величина совпадает с обычной медианой, для точек на плоскости и в многомерном пространстве — обобщает её. Геометрическая медиана существует и единственна, если точки не лежат все на одной прямой (в вырожденных конфигурациях возможны отрезки или области решений). Вычисляется итеративными алгоритмами, в частности алгоритмом Вейсфельда, поскольку замкнутой формулы для неё нет.

Применяется в задаче размещения объекта (facility location), робастной регрессии и обработке изображений.

¶Покоординатная медиана

Простейший аналог — покоординатная медиана (marginal median): для набора векторов берётся медиана каждой координаты отдельно. Полученная точка легко вычисляется и устойчива к выбросам, но, как правило, не совпадает с геометрической медианой и не минимизирует сумму расстояний. Её основное достоинство — вычислительная простота и интерпретируемость; недостаток — зависимость от выбора системы координат: при повороте осей результат меняется.

¶Медиана как решение задачи о наименьших абсолютных отклонениях

В регрессионном анализе аналогом медианы служит регрессия наименьших абсолютных отклонений (LAD, L1-регрессия). Оценка параметров минимизирует сумму модулей остатков, тогда как метод наименьших квадратов минимизирует сумму квадратов. LAD-оценки устойчивы к выбросам в зависимой переменной и при симметричном распределении ошибок совпадают по смыслу с выборочной медианой. Обобщение на многомерный отклик приводит к задаче о геометрической медиане остатков.

¶Медиана распределения и квантили

Для вероятностных распределений медианой называют значение, при котором функция распределения равна 1/2. Аналогами в этом контексте выступают:

Медиана Тьюки определяется как точка, для которой любая замкнутая полуплоскость (полупространство), проходящая через неё, содержит не более половины вероятностной массы. В одномерном случае это в точности обычная медиана; в многомерном — множество таких точек может образовывать область.

¶Медиана на графах и в метрических пространствах

Для вершин графа с заданным расстоянием вводится графовая медиана — вершина, минимизирующая сумму расстояний до всех остальных. В деревьях она совпадает с центром (или одним из центров) и вычисляется за линейное время. В общих графах задача о 1-медиане (задаче Вебера) является NP-трудной при требовании размещения в произвольной точке рёбер.

В произвольных метрических пространствах аналогом служит метрическая медиана — точка (не обязательно из исходного множества), минимизирующая сумму расстояний. Она существует в полных метрических пространствах при ограниченности сумм.

¶Робастность и точка разрушения

Ключевая мотивация обращения к аналогам медианы — устойчивость к загрязнению данных. Показатель точки разрушения (breakdown point) для геометрической медианы в размерности d убывает с ростом d: чем выше размерность, тем легче выбросами сдвинуть оценку. Это ограничение стимулировало разработку более робастных конструкций, в частности медианы Тьюки, у которой точка разрушения выше при больших d, а также различных усечённых и взвешенных вариантов.

¶Вычислительные аспекты

• Одномерная медиана вычисляется за линейное в среднем время (алгоритм «медиана медиан»).
• Геометрическая медиана в размерности выше двух не имеет аналитического решения; используются итерационные методы, сходящиеся к локальному минимуму, который для выпуклой целевой функции совпадает с глобальным.
• Медиана Тьюки в общем случае вычисляется методами математического программирования.
• Для больших наборов данных применяются приближённые и потоковые алгоритмы.

¶Применение

Аналоги медианы используются в робастной статистике, машинном обучении (устойчивые функции потерь), кластеризации (метод k-медиан как аналог k-средних), геоинформатике (поиск оптимального расположения склада или станции), обработке сигналов и изображений (медианная фильтрация), а также в экономике при анализе многомерных показателей.

¶Ограничения

Ни одна из конструкций не воспроизводит все свойства одномерной медианы одновременно. Геометрическая медиана теряет инвариантность при нелинейных преобразованиях и вычислительно сложна; покоординатная медиана зависит от выбора осей; медиана Тьюки может быть не единственной. Выбор конкретного аналога определяется задачей, размерностью данных и требованиями к робастности и вычислительной стоимости.